在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,已知向量
m
=(b,c-
2
a)
,
n
=(cosC,cosB),且
m
n
.(1)求角B的大小;(2)求函數(shù)•f(x)=2sin2(B+x)-
3
cos2x(x∈R)
的值域.
分析:(1)根據(jù)平面向量垂直時(shí)滿足的條件數(shù)量積為0,變形后利用正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡,當(dāng)sinA不等于0時(shí),得到cosB的值,由B的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(2)由(1)求出的B代入f(x),利用二倍角的余弦函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由正弦函數(shù)的值域即可求出f(x)的值域.
解答:解:(1)由
m
n
,得
m
n
=bcosC+(c- 
2
a)cosB=0
,即bcosC+ccosB=
2
acosB
,
由正弦定理得:sinBcosC+cosBsinC=
2
sinAcosB
,即sin(B+C)=
2
sinAcosB

∵sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,∴sinA=
2
sinAcosB

由sinA≠O,得cosB=
2
2
,
∵B∈(0,π),∴B=
π
4
;
(2)由(1),得f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x=1-cos(
π
2
+2x)-
3
cos2x

=1+sin2x-
3
cos2x
=1+2(sin2xcos
π
3
-cos2xsin
π
3
)
=1+2sin(2x-
π
3
)
,
x∈R,-1≤sin(2x-
π
3
)≤1
,
∴-1≤f(x)≤3,
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,3].
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡求值,掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件,掌握正弦函數(shù)的值域,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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