Question

3．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，左、右頂點分別是A₁，A₂，上、下頂點分別為B₁，B₂，且$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{{A_2}{B_2}}=-1$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），是（2）中軌跡C₂上不同的點，且AB⊥BC，求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得a和b的值，求得橢圓C₁的方；
（2）由題意可知，點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，由直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標(biāo)為（1，0），可得點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標(biāo)為（1，2），由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，可得（x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，方程 y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0 有不為2的解，且y₀≠-6，從而解得 y₀ 的取值范圍．

解答 解：（1）由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，2a²=3b²，①
由$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{{A_2}{B_2}}=-1$，則（a，b）（-a，b）=-1，即a²-b²=1，②
由①②解得：a²=3，b²=2，
∴橢圓C₁標(biāo)準方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意可知，丨PM丨=丨MF₂丨，又PM為點M到直線l₁ 的距離，
所以，點M到直線l₁的距離與到點 F₂的距離相等，
即點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，
因為直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標(biāo)為（1，0），所以，點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標(biāo)為（1，2）． 由AB⊥BC，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即 （x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又由 x₂=$\frac{1}{4}$y₂²，x₀=$\frac{1}{4}$y₀²，
則$\frac{1}{16}$ （y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，
由y₂≠2，y₂≠y₀，則$\frac{1}{16}$（y₂+2）（y₀+y₂）+1=0，整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，關(guān)于 y₂ 的方程有不為2的解，
則△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，
∴y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范圍為 y₀＜-6，或 y₀≥10，
y₀的取值范圍（-∞，-6）∪[10，+∞）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．