Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{16}{x^2}，0≤x≤2\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，\;x＞2\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁、t₂，分類討論求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{16}{x^2}，0≤x≤2\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，\;x＞2\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且僅有
6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
依題意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，
在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，
當(dāng)x=±2時(shí)，函數(shù)取得極大值$\frac{5}{4}$；
當(dāng)x=0時(shí)，取得極小值0．
要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，設(shè)t=f（x），
則t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁、t₂，則有兩種情況符合題意：
（1）t₁=$\frac{5}{4}$，且t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），此時(shí)-a=t₁+t₂，則a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此時(shí)同理可得a∈（-$\frac{9}{4}$，-1），
綜上可得a的范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1），
故答案為：（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，需要分類討論，屬于中檔題．