Question

對于函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得對于區(qū)間D上的任意實數(shù)x都有f（x）≤g（x）成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）區(qū)間D上的一個“覆蓋函數(shù)”．設(shè)f（x）=-2xlnx-x²，g（x）=-ax+3．若g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的一個“覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   （-∞，5]
2. B.
   （-∞，4]
3. C.
   [4，+∞）
4. D.
   [5，+∞）

Answer 1

B
分析：由題意知f（x）≤g（x）即-2xlnx-x²≤-ax+3在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決．
解答：因為g（x）=-ax+3為函數(shù)f（x）=-2xlnx-x² 在區(qū)間（0，+∞）上的一個“覆蓋函數(shù)”，
所以 f（x）≤g（x）即-2xlnx-x²≤-ax+3在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=2lnx+x+，則h′（x）=+1-=，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，由h′（x）＞0得x＞1，
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當x=1時h（x）取得最小值h（1）=4，
又a≤2lnx+x+在區(qū)間（0，+∞）上恒成立等價于a≤h_min（x），
所以a≤4．故a的取值范圍為：（-∞，4]．
故選B．
點評：本題是新定義題，考查函數(shù)恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理．