Question

11．若數(shù)列{a_n}和{b_n}的項(xiàng)數(shù)均為n，則將$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$定義為數(shù)列{a_n}和{b_n}的距離．
（1）已知${a_n}={2^n}$，b_n=2n+1，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的距離d_n．
（2）記A為滿(mǎn)足遞推關(guān)系${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$的所有數(shù)列{a_n}的集合，數(shù)列{b_n}和{c_n}為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為n．若b₁=2，c₁=3，數(shù)列{b_n}和{c_n}的距離大于2017，求n的最小值．
（3）若存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意的n∈N^*，恒有$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}≤M$則稱(chēng)數(shù)列{a_n}和{b_n}的距離是有界的．若{a_n}與{a_n+1}的距離是有界的，求證：$\{a_n^2\}$與$\{a_{n+1}^2\}$的距離是有界的．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為2ⁿ⁺¹-2，n²+2n，根據(jù)新定義求出即可；
（2）由數(shù)列的遞推公式，即可求得a₂，a₃，a₄，a₅，求得A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，求得數(shù)列{b_n}和{c_n}規(guī)律，可知隨著項(xiàng)數(shù)n越大，數(shù)列{b_n}和{c_n}的距離越大，由$\sum_{i=1}^4|{{b_i}-{c_i}}|=\frac{7}{3}$，根據(jù)周期的定義，求得n的最大值；
（3）根據(jù)新定義結(jié)合絕對(duì)值不等式，即可證明．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為2ⁿ⁺¹-2，n²+2n，
∴d_n=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$=|2ⁿ⁺¹-2-n²-2n|，
當(dāng)n=1，2¹⁺¹-2-1²-2×1=-1
當(dāng)n=2時(shí)，2²⁺¹-2-2²-2×2=-2
當(dāng)n=3時(shí)，2³⁺¹-2-3²-2×3=-1
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴⁺¹-2-4²-2×4=6，
∴d_n=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$=|2ⁿ⁺¹-2-n²-2n|=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+2n+2-{2}^{n+1}，n≤3}\\{{2}^{n+1}-2-2n-{n}^{2}，n≥4}\end{array}\right.$
（2）設(shè)a₁=p，其中p≠0，且p≠±1，由${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$，
∴a₂=$\frac{1+p}{1-p}$，a₃=-$\frac{1}{p}$，a₄=$\frac{p-1}{p+1}$，a₅=p，
∴a₁=a₅，
因此A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，
數(shù)列{b_n}中，${b_{4k-3}}=2，{b_{4k-2}}=-3，{b_{4k-1}}=-\frac{1}{2}，{b_{4k}}=\frac{1}{3}（k∈{N^*}）$，
數(shù)列{c_n}中，${c_{4k-3}}=3，{c_{4k-2}}=-2，{c_{4k-1}}=-\frac{1}{3}，{c_{4k}}=\frac{1}{2}（k∈{N^*}）$，
∵$\sum_{i=1}^{k+1}{|{b_i}-{c_i}|}≥\sum_{i=1}^k{|{b_i}-{c_i}|}$
∴項(xiàng)數(shù)n越大，數(shù)列{b_n}和{c_n}的距離越大．
∵$\sum_{i=1}^4|{{b_i}-{c_i}}|=\frac{7}{3}$，
而$\sum_{i=1}^{3456}|{{b_i}-{c_i}}|=\sum_{i=1}^{4×864}|{{b_i}-{c_i}}|$=$\frac{7}{3}×864=2016$，|c₁-b₁|=1，|c₂-b₂|=1
因此，當(dāng)n=3457時(shí)，$\sum_{i=1}^{3457}{|{b_i}-{c_i}|}=2017$，當(dāng)n=3458時(shí)，$\sum_{i=1}^{3458}{|{b_i}-{c_i}|}=2018$，
故n的最小值為3458．
（3）證明：∵{a_n}與{a_n+1}的距離是有界的，
∴存在正數(shù)M，對(duì)任意的n∈N^*，有|a_n-a_n-1|+|a_n-1+a_n-2|+…+|a₂-a₁|≤M，
∵|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1+a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤|M+|a₁|，
記|≤|M+|a₁|，則有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）|≤|a_n+1-a_n|（|a_n+1|+|a_n|）≤2K|a_n+1-a_n|，
∴|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM，
故$\{a_n^2\}$與$\{a_{n+1}^2\}$的距離是有界的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的新定義，求數(shù)列的周期，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于難題．