Question

6．已知⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，經(jīng)過F₁的光線經(jīng)過直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）反射后經(jīng)過F₂，且經(jīng)過F₁的光線與l的交點(diǎn)為E，則以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)E的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出，⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可以設(shè)出F₁、F₂的坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，再依據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P與F₁關(guān)于直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）對(duì)稱，且P的坐標(biāo)為（m，n），分析可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，即可得P的坐標(biāo)，結(jié)合光學(xué)知識(shí)由橢圓的定義結(jié)合光學(xué)知識(shí)分析可得2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|，有P、F₂的坐標(biāo)計(jì)算可得a的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
設(shè)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
要求橢圓的焦點(diǎn)為F₁、F₂，設(shè)其方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
設(shè)點(diǎn)P與F₁關(guān)于直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）對(duì)稱，且P的坐標(biāo)為（m，n），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
橢圓經(jīng)過點(diǎn)E，則有2a=|EF₁|+|EF₂|，
又由點(diǎn)P與F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，且經(jīng)過F₁的光線與l的交點(diǎn)為E，則|EP|=|EF₁|，
則2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|=$\sqrt{（1+\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
則a=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
又橢圓的半焦距c=1，則b²=a²-c²=$\frac{19}{4}$-1=$\frac{15}{4}$；
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及直線間的位置關(guān)系，注意利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行分析．