Question

等比數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①a₁+a₆=33；②a₂a₅=32；③三個(gè)數(shù)2a₂，a₃²，3a₄+4依次成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：由①②求出a₁，a₆  的值，求出a_n=2n-1或an=26-n．再通過(guò)③驗(yàn)證，確定通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算出S_n．

解答：解：由等比數(shù)列性質(zhì)，a₁•a₆ =a₂a₅=32，又a₁+a₆=33．∴a₁，a₆是方程x²-33x+32=0的兩根，解得①

a1=1 a6=32

，此時(shí)q=2，通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1，三個(gè)數(shù)2a₂，a₃²，3a₄+4依次為：4，16，28，成等差數(shù)列，符合題意．
或②

a1=32 a6=1

，此時(shí)q=

1

2

，通項(xiàng)公式為a_n=32×(

1

2

)n-1=2^6-n，三個(gè)數(shù)2a₂，a₃²，3a₄+4依次32，64，16，不成等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
∴S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和S_n．在解題中，應(yīng)用性質(zhì)能有效的減少運(yùn)算量．