Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)的最小值，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
①當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值．??????
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，
f（x）與f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（ $\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	$\frac{a}{2}$（1-lna）	遞增

所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（ $\sqrt{a}$，+∞），
故f（x）在x=$\sqrt{a}$處取極小值，
極小值f（ $\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$；
（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（ $\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，
因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以$\frac{a（1-lna）}{2}$≤0，從而a≥e．
當(dāng)a=e時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，且f（ $\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上的唯一零點(diǎn)．?????
當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，且f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-a}{2}$＜0，
所以f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知，當(dāng)a＞0 時(shí)，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．?

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．