2．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點在球O的球面上，球O的體積為$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，則OA與平面ABCD所成的角的余弦值為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$B．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$C．$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$D．$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

分析 如圖，設(shè)正方形的中心為O1，可得OO1⊥面ABCD，可得∠OAO1則OA與平面ABCD所成的角，cos∠OAO1=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

解答 解：如圖，設(shè)正方形的中心為O1，可得OO1⊥面ABCD，
∵正方形ABCD的邊長為2，∴${O}_{1}A=\sqrt{2}$，
∵球O的體積為$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{20\sqrt{5}}{3}π$，
∴R=$\sqrt{5}$，即OA=$\sqrt{5}$，
可得∠OAO1則OA與平面ABCD所成的角，cos∠OAO1=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查了求得體積公式應(yīng)用，線面角的求解，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．已知正方形ABCD的對角線相交于點O，若隨機向此正方形內(nèi)投放一顆豆子，則它落在△AOB內(nèi)的概率為（　�。�
A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{3}$

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13．若x∈（1，+∞），則y=x$+\frac{4}{x-1}$的最小值是5．

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10．已知等比數(shù)列{an}中的各項都是正數(shù)，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=（　�。�
A．$1+\sqrt{2}$B．$1-\sqrt{2}$C．$3+2\sqrt{2}$D．$3-2\sqrt{2}$

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17．在區(qū)間[-1，3]上隨機取一個實數(shù)x，則x使不等式|x|≤2成立的概率為（　�。�
A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{3}{4}$

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7．將函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{a}{3}$]和[2a，$\frac{7π}{6}$]上均單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]B．[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]C．[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]D．[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）證明：當(dāng)a＞0時，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+sin（{2x-\frac{π}{6}}）+cos2x+1$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求邊c．

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12．A、B、C、D、E五個人參加抽獎活動，現(xiàn)有5個紅包，每人各摸一個，5個紅包中有2個8元，1個18元，1個28元，1個0元，（紅包中金額相同視為相同紅包），則A、B兩人都獲獎（0元視為不獲獎）的情況有（　�。�
A．18種B．24種C．36種D．48種

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