Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的標準方程以及m的取值范圍；
（2）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 （a＞b＞0），且a=2b，

橢圓經過點M（2，1），則 ，解得：a=2 ，b= ，

∴橢圓方程 ；

∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m 又kOM= ，

∴l(xiāng)的方程為：y= x+m，

由 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜0或0＜m＜2，

∴m的取值范圍是（﹣2，0）∪（0，2）

（2）證明：設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，

要證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．只需證明k1+k2=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程為：y= x+m，則k1= ，k2= ．

由 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0

∴x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，

而k1+k2= + = ，

其分子=（ x1+m﹣1）（x2﹣2）+（ x2+m﹣1）（x1﹣2）

=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4﹣2m（m﹣2）﹣4m+4=0，

∴k1+k2=0．

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形

【解析】（1）根據題意，將M點代入即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程，求得直線l的方程，代入橢圓方程，由△＞0即可求得m的取值范圍；（2）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，根據直線的斜率公式及韋達定理即可求得答案．