Question

9．如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，M、N分別為雙曲線虛軸的上、下端點，A是雙曲線的右頂點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，直線AM與FN相交于點P，若∠APF是銳角，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• B． （1+$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• D． （$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，求出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)∠APF是銳角，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{FP}$＜0，得到b²＜ac，繼而得到e²-e-1＜0，解得即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
由題意可得A（a，0），F(xiàn)（c，0），M（0，b），N（0，-b），
故直線AF的方程為y+b=$\frac{c}$x，直線NF的方程為y-b=-$\frac{a}$x，
聯(lián)立方程組，解得x=$\frac{2ac}{a+c}$，y=$\frac{b（a-c）}{a+c}$，
即P（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{b（a-c）}{a+c}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{a（c-a）}{a+c}$，$\frac{b（a-c）}{a+c}$），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{c（a-c）}{a+c}$，$\frac{b（a-c）}{a+c}$），
∵∠APF是銳角，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{FP}$=$\frac{a（c-a）}{a+c}$•$\frac{c（a-c）}{a+c}$+$\frac{b（a-c）}{a+c}$•$\frac{b（a-c）}{a+c}$＜0，
∴b²＜ac，
∴c²-a²＜ac
∴e-$\frac{1}{e}$＜1，
即e²-e-1＜0，
解得e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，e＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
故選：A

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)和直線方程的求法和向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題．