Question

9．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（其中a為常數(shù)）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值．
（3）求出使f（x）取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍以及正弦函數(shù)的最值，求得當(dāng)f（x）的最大值為4時(shí)，a的值．
（3）利用正弦函數(shù)的最大值求得出使f（x）取得最大值時(shí)x的集合．

解答 解：（1）對(duì)于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，f（x）的最大值為2+a+1=4，求得a=1．
（3）要使使f（x）取得最大值，只需2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{6}$，
故使f（x）取得最大值x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于基礎(chǔ)題．