Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=m．
（1）求m的值；
（2）求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥2．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得出f（x）的最小值；
（2）把1=$\frac{1}{2}$（a+b）代入左側(cè)，利用基本不等式得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)2≤x≤4時(shí)等號(hào)成立，
∴m=2．
（2）證明：∵a+b=2，∴$\frac{1}{2}$（a+b）=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{a}$+$\frac{a}$）≥1+$\frac{1}{2}$×2=2．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{a}$即a=b=1時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．