Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2．
（1）AD⊥平面PQB；
（2）已知點M在線段PC上，且PA∥平面MQB，求$\frac{PM}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形證明PQ⊥AD，BQ⊥AD，即可證明AD⊥平面PQB；
（2）連接AC交BQ于點N，利用AQ∥BC得出$\frac{AN}{NC}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，再由PA∥平面MQB得出MN∥PA，即可得出$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）證明：△PAD中，PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD；
又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
連接BD，則△ABD是等邊三角形，
∴BQ⊥AD；
又BQ∩PQ=Q，BQ?平面PQB，PQ?平面PQB，
∴AD⊥平面PQB；
（2）連接AC交BQ于點N，連接MN，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AN}{NC}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
又PA∥平面MQB，且平面PAC∩平面MQB=MN，
∴MN∥PA，
∴$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了直線與平面垂直與平行的判斷、證明問題，是綜合性題目．