Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ax，（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點，且x1＜x2
（1）求a的取值范圍；
（2）證明： ；（f′（x）為f（x）的導函數(shù)）
（3）設(shè)點C在函數(shù)f（x）的圖象上，且△ABC為等邊三角形，記 ，求（t﹣1）（a+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex+ax，∴f'（x）=ex+a，

若a≥0，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，這與題設(shè)矛盾．

∴a＜0，

令f′（x）＞0得x＞ln（﹣a），令f′（x）＜0得x＜ln（﹣a），

∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣a），+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）有兩個零點，

∴fmin（x）=f（ln（﹣a））=﹣a+aln（﹣a），

∴﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e．

（2）解：證明：∵x1，x2是f（x）的零點，∴ ，

兩式相減得：a=﹣ ．

記 =s，則f′（ ）=e ﹣ = [2s﹣（es﹣e﹣s）]，

設(shè)g（s）=2s﹣（es﹣e﹣s），則g′（s）=2﹣（es+e﹣s）＜0，

∴g（s）是減函數(shù)，

∴g（s）＜g（0）=0，

又 ＞0，∴f′（ ）＜0．

∵f′（x）=ex+a是增函數(shù)，

∴f′（ ）＜f′（ ）＜0

（3）解：由 得 ，∴e =﹣a ，

設(shè)P（x0，y0），在等邊三角形ABC中，易知 ，y0=f（x0）＜0，

由等邊三角形性質(zhì)知y0=﹣ ，∴y0+ =0，即 ，

∴﹣a + （x1+x2）+ =0，

∵x1＞0，∴ ，

∴﹣at+ （t2+1）+ （t2﹣1）=0，即（a+ ）t2﹣2at+a﹣ =0，

∴[（a+ ）t+ ]（t﹣1）=0，

∵t＞1，∴（a+ ）t+ =0，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）討論a的符號，判斷f（x）的單調(diào)性，計算f（x）的極值，根據(jù)零點個數(shù)得出f（x）的極小值為負數(shù)，列出不等式解出a；（2）計算f′（ ），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷f′（ ）的符號，根據(jù)f′（x）的單調(diào)性得出結(jié)論；（3）用x1 ， x2表示出P點坐標，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程化簡即可求出t和a的關(guān)系，再計算（t﹣1）（a+ ）的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．