已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),=(3,-1)共線.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明λ22為定值.
【答案】分析:(Ⅰ)直線與橢圓方程聯(lián)立用未達(dá)定理的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,據(jù)向量共線的條件得橢圓中a,b,c的關(guān)系,從而求得橢圓的離心率
(Ⅱ)用向量運(yùn)算將λμ用坐標(biāo)表示,再用坐標(biāo)的關(guān)系求出λ22的值.
解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為
則直線AB的方程為y=x-c,代入,
化簡(jiǎn)得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

共線,
∴3(y1+y2)+(x1+x2)=0,又y1=x1-c,y2=x2-c,
∴3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,

,
所以a2=3b2
,
故離心率
(II)證明:由(1)知a2=3b2,
所以橢圓可化為x2+3y2=3b2
設(shè)M(x,y),
由已知得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),

∵M(jìn)(x,y)在橢圓上,
∴(λx1+μx22+3(λy1+μy22=3b2
即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.①
由(1)知
,
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0.
又x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2,
代入①得λ22=1.
故λ22為定值,定值為1.
點(diǎn)評(píng):考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件;處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理.
是高考常見(jiàn)題型且是解答題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),
OA
+
OB
a
=(3,-1)共線.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且
OM
OA
OB
(λ,μ∈R)
,證明λ22為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓短半軸長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)在直線x=
a2c
(a為長(zhǎng)半軸,c為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F(2,0)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),
OA
+
OB
a
=(3,-1)
共線,則該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓短半軸長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)在直線x=
a2c
(a為長(zhǎng)半軸,c為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),
OA
+
OB
a
=(3,-1)
共線,則該橢圓的離心率為( 。
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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