已知函數(shù)f(x)=2x+
a
x
+lnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求極值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到f′(1),在求出f(1),利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案;
(Ⅱ)求出函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)a分類(lèi)求解導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào),從而得到原函數(shù)的單調(diào)性與極值,是壓軸題.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=2x+
3
a
+lnx,
f(x)=2+
1
x
-
3
x2
,
f(1)=2×1+
3
1
+ln1=5
,f′(1)=0,
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程y-5=0;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(x)=2+
1
x
-
a
x2
=
2x2+x-a
x2

記g(x)=2x2+x-a,△=1+8a.
①當(dāng)△=1+8a≤0,即a≤-
1
8
時(shí),g(x)=2x2+x-a≥0恒成立(當(dāng)x=
1
4
時(shí)取“=”),
f(x)=2+
1
x
-
a
x2
=
2x2+x-a
x2
>0
在(0,+∞)上恒成立,
即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值;
②當(dāng)a>-
1
8
時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1=
-1-
1+8a
4
<0
,
x2=
-1+
1+8a
4

令1+8a>1,則a>0,此時(shí)x2>0,則x∈(0,
-1+
1+8a
4
)
時(shí),g(x)<0,f′(x)<0;
x∈(
-1+
1+8a
4
,+∞)
時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,
即函數(shù)f(x)在x∈(0,
-1+
1+8a
4
)
時(shí)單調(diào)遞減,在x∈(
-1+
1+8a
4
,+∞)
時(shí)單調(diào)遞增,
從而函數(shù)f(x)的極小值為f(
-1+
1+8a
4
)
,無(wú)極大值.
而當(dāng)-
1
8
<a≤0
時(shí),x2≤0,則有x>0時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,
函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值.
綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值;
當(dāng)函數(shù)f(x)在x∈(0,
-1+
1+8a
4
)
時(shí)單調(diào)遞減,在x∈(
-1+
1+8a
4
,+∞)
時(shí)單調(diào)遞增,
從而函數(shù)f(x)的極小值為f(
-1+
1+8a
4
)
,無(wú)極大值.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程,過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率,就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,是壓軸題.
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3
3
x
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x
a
+
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b
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1
2
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x
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