Question

已知直線l：

x

a

+

y

b

=1（a＞2，b＞2）分別交x軸，y軸于A，B兩點，且與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的切線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）由于直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求a與b滿足的關系；
（2）假設中點坐標，利用中點坐標公式及（1）的結論，可求線段AB中點的軌跡方程．

解答： 解：①⊙C可化為：（x-1）²+（y-1）²=1
圓心C（1，1），r=1（3分）
由題意，直線l的方程直線l：

x

a

+

y

b

=1（a＞2，b＞2），即 bx+ay-ab=0
∵直線與圓相切，
∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②設線段AB的中點M（x，y）
則a=2x，b=2y代入（a-2）（b-2）=2得：（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1，y＞1）（12分）

點評：本題以直線與圓相切為載體，綜合考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程的求法，有一定的綜合性．