Question

一個箱中原來裝有大小相同的 5 個球，其中 3 個紅球，2 個白球．規(guī)定：進行一次操 作是指“從箱中隨機取出一個球，如果取出的是紅球，則把它放回箱中；如果取出的是白 球，則該球不放回，并另補一個紅球放到箱中．”
（1）求進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)為 4 的概率；
（2）求進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）“進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)為 4”，包括事件“第一次操作從箱中取出的是紅球，第二次操作從箱中取出的是白球”和事件“第一次操作從箱中取出的是白球，第二次操作從箱中取出的是紅球”，利用條件概率和互斥事件的概率計算公式即可得出．
（2）設(shè)進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)為X，則X=3，4，5．利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出概率和分布列，再利用數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．
解答：解：（1）設(shè)A₁表示事件“第一次操作從箱中取出的是紅球”，
B₁表示事件“第一次操作從箱中取出的是白球”，
A₂表示事件“第二次操作從箱中取出的是紅球”，
B₂表示事件“第二次操作從箱中取出的是白球”．
則A₁B₂表示事件“第一次操作從箱中取出的是紅球，第二次操作從箱中取出的是白球”．
由條件概率計算公式得P（A₁B₂）=P（A₁）P（B₂|A₁）=．
B₁A₂表示事件“第一次操作從箱中取出的是白球，第二次操作從箱中取出的是紅球”．
由條件概率計算公式得P（B₁A₂）=P（B₁）P（A₂|B₁）==．
A₁B₂+B₁A₂表示“進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)為 4”，又A₁B₂與B₁A₂是互斥事件．
∴P（A₁B₂+B₁A₂）=P（A₁B₂）+P（B₁A₂）=．
（2）設(shè)進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)為X，則X=3，4，5．
P（X=3），P（X=4）=，
P（X=5）=．
進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)X的分布列為：
進行第二次操作后，箱中紅球個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望
EX==．
點評：熟練掌握分類討論思想方法、條件概率和互斥事件的概率計算公式、相互獨立事件的概率計算公式、數(shù)學(xué)期望計算公式是解題的關(guān)鍵．