Question

12．已知點O是△ABC的外心，AB=4，AO=3，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-4，24]
• B． [-8，20]
• C． [-8，12]
• D． [-4，20]

Answer 1

分析 首先以O(shè)為坐標(biāo)原點，平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件便可求出A，B點的坐標(biāo)，C在圓上，從而可設(shè)C（3cosθ，3sinθ），這樣便可求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=12cosθ+8$，根據(jù)cosθ的范圍便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范圍．

解答 解：如圖，以O(shè)為原點，平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
$A（-2，-\sqrt{5}），B（2，-\sqrt{5}）$；
C在以3為半徑的圓上，設(shè)C（3cosθ，3sinθ）；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=（4，0）•（3cosθ+2，3sinθ+\sqrt{5}）$=12cosθ+8；
∵-1≤cosθ≤1；
∴-4≤12cosθ+8≤20；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范圍為[-4，20]．
故選：D．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求出圖形上點的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示圓上點的坐標(biāo)的方法，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，余弦函數(shù)的取值范圍．