Question

10．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且橢圓C上的點到一個焦點的距離的最小值為$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知過點T（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E，使∠AEB=90°，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率和最小距離a-c，解方程可得a，c的值，再由隱含條件求得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由已知，以AB為直徑的圓與X軸有公共點，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求得|AB|，再由${y}_{0}≤\frac{1}{2}|AB|$列式求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由橢圓的性質可得，a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
解方程可得a=$\sqrt{3}，c=\sqrt{2}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
故橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）由已知，以AB為直徑的圓與X軸有公共點，
設A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），AB中點M（x₀，y₀）
直線l：y=kx+2代入$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$，得（3+k²）x²+4kx+1=0，
由△=12k²-12＞0，得k＜-1或k＞1．
${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+2=\frac{6}{3+{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{12{k}^{2}-12}}{3+{k}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{{k}^{4}-1}}{3+{k}^{2}}$，
由$\frac{6}{3+{k}^{2}}≤\frac{1}{2}|AB|$，得$\frac{6}{3+{k}^{2}}≤\frac{\sqrt{3}\sqrt{{k}^{4}-1}}{3+{k}^{2}}$，
解得k⁴≥13，即k≥$\root{4}{13}$或k≤-$\root{4}{13}$．
∴所求直線l的斜率k的取值范圍是k≥$\root{4}{13}$或k≤-$\root{4}{13}$．

點評 本題考查橢圓的性質與方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．