Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F．
（Ⅰ）求點C到平面BDE的距離；
（Ⅱ）證明：PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用V_C-BED=V_E-BCD，求點C到平面BDE的距離；
（Ⅱ）證明：DE⊥平面PCB，得出DE⊥PB，又EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面DEF．

解答 （Ⅰ）解：取CD的中點O，連結EO，則EO∥PD．（1分）
∵PD⊥底面ABCD，PD=2，
∴EO⊥底面ABCD，$EO=\frac{1}{2}PD=1$．  （2分）
∵ABCD是正方形且DC=2，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC•DC=\frac{1}{2}×2×2=2$，∴${V_{E-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•EO=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．（3分）
在Rt△PDC中，$DE=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}$．在Rt△BCE中，$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=\sqrt{6}$．
在Rt△BAD中，$BD=2\sqrt{2}$．
因為BD²=BE²+DE²，所以BE⊥DE．（4分）
∴${S_{△BED}}=\frac{1}{2}DE•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$．
設點C到平面BDE的距離為h，則${V_{C-BED}}=\frac{1}{3}{S_{△BED}}•h=\frac{{\sqrt{3}h}}{3}$．（5分）
∵V_C-BED=V_E-BCD，即$\frac{{\sqrt{3}h}}{3}=\frac{2}{3}$，解得$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故點C到平面BDE的距離為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．（6分）
（Ⅱ）證明：∵PD⊥底面ABCD且BC?底面ABCD，∴PD⊥BC．
因為ABCD是正方形，所以BC⊥DC．
又PD∩DC=D，所以BC⊥平面PDC．（7分）
因為DE?平面PDC，所以BC⊥DE．（8分）
因為DE是等腰直角三角形PDC斜邊PC上的中線，所以DE⊥PC．（9分）
又PC∩BC=C，所以DE⊥平面PCB．（10分）
因為PB?平面PCB，所以DE⊥PB．（11分）
又EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面DEF．（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查等體積方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．