Question

12．已知無窮數列{a_n}滿足a_n+1=p•a_n+$\frac{q}{a_n}$（n∈N^*）．其中p，q均為非負實數且不同時為0．
（1）若p=$\frac{1}{2}$，q=2，且a₃=$\frac{41}{20}$，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，求證：當p∈（${\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}}）$）時，數列{a_n}是單調遞減數列．

Answer 1

分析 （1）令n=2、1依次代入遞推公式列出方程，求出a₂、a₁的值；
（2）根據條件分兩種情況：當p=0，q≠0時由數列的遞推公式對n分奇數和偶數求出S_n；當p≠0，q=0時由數列的遞推公式可知是等比數列，根據等比數列的前n項和公式求出S_n；
（3）由題意求出數列的遞推公式，由p的范圍先比較a₁與a₂，令n取n-1列出式子后，兩式相減化簡后利用基本不等式求出a_n的范圍，根據p的范圍判斷出“a_n+1-a_n”的符號，即可證明結論．

解答 解：（1）由題意知，a_n+1=p•a_n+$\frac{q}{a_n}$，∴a₃=p•a₂+$\frac{q}{{a}_{2}}$，
∵p=$\frac{1}{2}$，q=2，且a₃=$\frac{41}{20}$，∴$\frac{41}{20}=\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{4}{{a}_{2}}）$，解得${a}_{2}=\frac{5}{2}或{a}_{2}=\frac{8}{5}$，…2分
當${a_2}=\frac{5}{2}$時，同理求得a₁=1或4；當${a_2}=\frac{8}{5}$時，無解，
所以，a₁=1或4       …4分
（2）若p=0，q≠0，${a_{n+1}}=\frac{q}{a_n}$，∴${a_1}=5，{a_2}=\frac{q}{5}，{a_3}=5，{a_4}=\frac{q}{5}$，…5分
所以當n為奇數時，${S_n}=5•\frac{n-1}{2}+\frac{q}{5}•\frac{n+1}{2}=\frac{25n+qn+q-25}{10}$；…6分
當n為偶數時，${S_n}=5•\frac{n}{2}+\frac{q}{5}•\frac{n}{2}=\frac{25n+qn}{10}$，
所以${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{25n+qn+q-25}{10}，n為奇數}\\{\frac{25n+qn}{10}，n為偶數}\end{array}\right.$…7分
若p≠0，q=0時，a_n+1=p•a_n，…8分
所以${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{5（{p^n}-1）}}{p-1}}&{p≠0，p≠1}\\{5n}&{p=1}\end{array}}\right.$…10分
證明：（3）由題意知，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{{a_{n+1}}=p•{a_n}+\frac{1}{a_n}}\end{array}}\right.$
當$p＜\frac{3}{4}$時，可得${a_2}=2p+\frac{1}{2}＜2={a_1}$       ①…12分
由${a_{n+1}}=p•{a_n}+\frac{1}{a_n}$和${a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}，（n≥2）$，
兩式相減得，${a_{n+1}}-{a_n}=（{a_n}-{a_{n-1}}）（p-\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}）$    …14分
因為${a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥2\sqrt{p}$成立，則有a_n•a_n-1＞4p
當$p＞\frac{1}{2}$時，${a_n}•{a_{n-1}}＞4p＞\frac{1}{p}$，即$p＞\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}$   ②…16分
由①②可知，當a_n＜a_n-1時，恒有a_n+1＜a_n…17分
對于任意的自然數n，a_n+1＜a_n恒成立．  …18分．

點評 本題考查了數列遞推關系，等比數列的定義、前n項和公式，作差法判斷數列的單調性，以及基本不等式式的應用，考查了分類討論方法、推理能力與化簡、變形能力，屬于難題．