Question

2．某校甲、乙兩支籃球隊各選3名隊員進行定點投籃比賽，規(guī)定每名隊員投籃一次，投進得10分，未投進得0分，各隊的3名隊員得分之和為該隊總分．已知甲隊選出的3名隊員投進的概率分別為$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$，乙隊選出的3名隊員投進的概率均為$\frac{2}{3}$．設(shè)每名隊員投進與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總分．
（1）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望E（ξ）．
（2）記“兩隊總分之和為40分且甲隊總分不低于乙隊總分”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意ξ的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．
（2）記“兩隊總分之和為40分且甲隊總分不低于乙隊總分”為事件A，則事件A是指甲3投3中，乙3投1中或甲3投2中，乙3投2中，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）由題意ξ的可能取值為0，10，20，30，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{24}$，
P（ξ=20）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（ξ=30）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{24}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	10	20	30
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{24}+10×\frac{4}{24}+20×\frac{11}{24}+30×\frac{6}{24}$=$\frac{3}{55}$．
（2）記“兩隊總分之和為40分且甲隊總分不低于乙隊總分”為事件A，
則事件A是指甲3投3中，乙3投1中或甲3投2中，乙3投2中，
∴事件A的概率：
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$+（$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$）×${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）$=$\frac{7}{27}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式、n次獨立重復(fù)事件中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．