Question

已知在△ABC中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（2，0），點(diǎn)C在x軸上方．
（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程；
（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圓的方程；
（Ⅲ）若在給定直線y=x+t上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向（Ⅱ）中圓引一條切線，切點(diǎn)為Q．問是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有PM=PQ？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義和AC，BC求得橢圓的長軸，進(jìn)而根據(jù)c求得b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先用正弦定理可知=2R，進(jìn)而求得R，設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求的s，則外接圓的方程可得．
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M（m，n），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)PM=PQ，求得關(guān)于x的方程，進(jìn)而列出方程組，消去m，得到關(guān)于n的一元二次方程，分別討論當(dāng)判別式大于0或小于等于0時(shí)的情況．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳C=5，BC=3，所以橢圓的長軸長2a=AC+BC=8，
又c=2，所以b=2，故所求橢圓的方程為
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213131789027870/SYS201310232131317890278006_DA/3.png">=2R，所以2R=4，即R=2
又圓心在AB的垂直平分線上，故可設(shè)圓心為（0，s）（s＞0），
則由4+S²=8，所以△ABC的外接圓的方程為x²+（y-2）²=8
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M（m，n），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+t），因?yàn)楹阌蠵M=PQ，所以（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，對x∈R，恒成立，
從而，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0
因?yàn)榉匠膛袆e式△=t²-4t-12，所以
①當(dāng)-2＜t＜6，時(shí)，因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)解，所以不存在這樣的點(diǎn)M
②當(dāng)t≥6或t≤-2時(shí)，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，且此時(shí)直線y=x+t與圓相離或相切，故此時(shí)這樣的點(diǎn)M存在．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．