Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）已知a、b、c分別為△ABC的三個內(nèi)角A、B、C對應的邊，若f（

A

2

）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=cosx（2cosx+2

3

sinx）-y=0，即可得出y=2sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．即可得出．
（2）f（

A

2

）=3，可得2sin(A+

π

6

)+1=3，解得A=

π

3

．再利用余弦定理可得bc．利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=cosx（2cosx+2

3

sinx）-y=0，
∴y=

3

sin2x+2cos2x
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
∴y∈[0，3]．
∴當x=

π

2

時，y取得最小值0；當x=

π

6

時，y取得最大值3．
（2）∵f（

A

2

）=3，∴2sin(A+

π

6

)+1=3，解得A=

π

3

．
∵a=2，b+c=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
即4=（b+c）²-2bc-2bccos

π

3

，化為3bc=12，解得bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．