Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上奇函數(shù)，且對(duì)任意的a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，則不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題利用函數(shù)的奇偶性將條件有

f(a)+f(b)

a+b

＜0轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性將不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∵對(duì)任意的a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，
∴-b∈[-1，1]，

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＜0．
∴

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
∴當(dāng)a＞b時(shí)，f（a）＜f（b），
當(dāng)a＜b時(shí)，f（a）＞f（b），
∴由a、b的任意性知：f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．
∵不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

），

2x- 1 2 ＞x- 1 4 x- 1 4 ≥-1 2x- 1 2 ≤1

，
∴

1

4

＜x≤

3

4

故答案為：（

1

4

，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．