Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，四棱錐的底面ABCD 是平行四邊形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD， ⊥， ⊥， ， 分別是， 的中點(diǎn)，連結(jié)．求證：

（1）∥平面；

（2）⊥平面．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）證明線(xiàn)面平行，關(guān)鍵證明線(xiàn)線(xiàn)平行，這可根據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得到：在△中，因?yàn)?/span>， 分別是， 的中點(diǎn)，所以∥．再根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理進(jìn)行證明（2）證明線(xiàn)面垂直，需多次利用線(xiàn)線(xiàn)垂直與線(xiàn)面垂直相互轉(zhuǎn)化：先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．從而⊥．又因?yàn)?/span>⊥，所以可得⊥平面．從而⊥．又因?yàn)?/span>⊥， ∥，所以⊥．從而可證⊥平面．

試題解析：證明：（1）連結(jié)AC，

因?yàn)?/span>ABCD 是平行四邊形，所以O為的中點(diǎn)． 2分

在△中，因?yàn)?/span>， 分別是， 的中點(diǎn)，

所以∥． 4分

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以∥平面． 6分

（2）連結(jié)．因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，PB=PD，

所以PO⊥BD．

又因?yàn)槠矫?/span>PBD⊥平面ABCD，平面 平

面= ， 平面

所以⊥平面．

從而⊥． 8分

又因?yàn)?/span>⊥， , 平面， 平面，

所以⊥平面．

因?yàn)?/span>平面，所以⊥． 10分

因?yàn)?/span>⊥， ∥，所以⊥． 12分

又因?yàn)?/span>平面， 平面， ,

所以⊥平面． 14分