Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)（n∈N，且n≥2），求函數(shù)f（n）的最小值；
（3）設(shè)b_n=，S_n表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和。試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）·g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？ 若存在，寫(xiě)出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由點(diǎn)P在（a_n，a_n+1）直線x-y+1=0上，
即，且，
數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
，同樣滿(mǎn)足，
所以；
（2），
，
，
所以f（n）是單調(diào)遞增，故f（n）的最小值是；
（3），
可得，
，
，
……
，
，
，n≥2 ，
，
故存在關(guān)于n的整式g（x）=n，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立。