已知函數(shù),其中n∈N*,a為常數(shù)。
(1)當(dāng)n=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí),有f(x)≤x-1。
解:(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1},
當(dāng)n=2時(shí),
所以f′(x)=
(i)當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0得
>1,<1
此時(shí)f′(x)=
當(dāng)x∈(1,x1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),f′(x)>0, f(x)單調(diào)遞增
(ii)當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0恒成立,所以f(x)無(wú)極值
綜上所述,n=2時(shí),當(dāng)a>0時(shí),f(x)在處取得極小值,極小值為
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)無(wú)極值。
(2)因?yàn)閍=1,所以
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令
則g′(x)=1+>0(x≥2)
所以當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí),g(x)單調(diào)遞增,
又g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立,
所以f(x)≤x-1成立;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
要證≤x-1,由于<0,所以只需證ln(x-1) ≤x-1,
令h(x)=x-1-ln(x-1),
則h′(x)=1-≥0(x≥2),
所以,當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí),單調(diào)遞增,
又h(2)=1>0,
所以當(dāng)x≥2時(shí),恒有h(x)>0,
即ln(x-1)<x-1命題成立
綜上所述,結(jié)論成立。
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x
2-x
(0<x<2).
(1)是否存在點(diǎn)M(a,b),使得函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q也在函數(shù)y=f(x)的圖象上?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)定義Sn=
2n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+
f(
2n-1
n
)
,其中n∈N*,求S2013;
(3)在(2)的條件下,令Sn+1=2an,若不等式2an(an)m>1對(duì)?n∈N*且n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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