已知函數(shù),其中n∈N*,a為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí),有f(x)≤x-1.
【答案】分析:(1)欲求:“當(dāng)n=2時(shí),”的極值,利用導(dǎo)數(shù),求其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可;
(2)欲證:“f(x)≤x-1”,令,利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,只要證明函數(shù)f(x)的最大值是x-1即可.
解答:解:(Ⅰ)解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1},
當(dāng)n=2時(shí),,所以
(1)當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0得,,
此時(shí)
當(dāng)x∈(1,x1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0恒成立,所以f(x)無極值.
綜上所述,n=2時(shí),
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在處取得極小值,極小值為
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)無極值.
(Ⅱ)證法一:因?yàn)閍=1,所以
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

(x≥2).
所以當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,
又g(2)=0,
因此恒成立,
所以f(x)≤x-1成立.
要證f(x)≤x-1,由于,所以只需證ln(x-1)≤x-1,
令h(x)=x-1-ln(x-1),
(x≥2),
所以當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),h(x)=x-1-ln(x-1)單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,
所以當(dāng)x≥2時(shí),恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命題成立.
綜上所述,結(jié)論成立.
證法二:當(dāng)a=1時(shí),
當(dāng)x≥2時(shí),對任意的正整數(shù)n,恒有,
故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.
令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞),
,
當(dāng)x≥2時(shí),h'(x)≥0,故h(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
因此當(dāng)x≥2時(shí),h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.
故當(dāng)x≥2時(shí),有
即f(x)≤x-1.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí),以及不等式的證明,同時(shí)考查邏輯推理能力.
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x
2-x
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(2)定義Sn=
2n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+
f(
2n-1
n
)
,其中n∈N*,求S2013
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