Question

5．已知函數g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$．
（1）求g（x）的單調區(qū)間和最小值；
（2）若f（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$），證明f（x）在（0，+∞）上有且僅有一個零點．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間，進而得到最小值；
（2）求出f（x）的解析式和導數，判斷單調性，再由零點存在定理，即可得證．

解答 解：（1）函數g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的導數為g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
g（x）的最小值為g（1）=1；
（2）證明：f（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=2lnx-x+$\frac{1}{x}$，x＞0，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
f（x）在R上遞減，
由f（e）=2-e+$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{e}$+e=-f（e），
可得f（e）f（$\frac{1}{e}$）＜0，
由函數的零點存在定理，可得
f（x）（0，+∞）上有且僅有一個零點．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和最值，考查函數的零點的判斷，注意運用函數的單調性和零點存在定理，考查運算能力，屬于中檔題．