Question

16．在△ABC中，∠C=90°，兩直角邊和斜邊a，b，c滿足條件a+b=cx，則x的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，再由基本不等式可得x的范圍，綜合可得．

解答 解：由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+b=cx＞c，故x＞1；
再由勾股定理可得x=$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a+b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab}{{a}^{2}+^{2}}}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及三角形的三邊關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．