Question

6．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由題可知，a₁•a₁₃=a₄²，求出d，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出；
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求出答案．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由題可知，a₁•a₁₃=a₄²，
即3（3+12d）=（3+3d）²，解得d=2，
則a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2），
則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
則T_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$-$\frac{1}{2（n+2）}$，
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．