Question

7．如圖，底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，DD'⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AB=2AD，DD'=3AD，E、F分別是線段AB、D'E的中點．
（Ⅰ）求證：CE⊥DF；
（Ⅱ）求四棱錐F-AECD與四棱柱ABCD-A'B'C'D'的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得底面中DE⊥EC，再由DD'⊥平面ABCD得CE⊥D'D，然后利用線面垂直的判定可得CE⊥平面D'DE，從而得到CE⊥DF；
（Ⅱ）設(shè)出AD的長度，然后由已知求出四邊形ABCD與梯形AECD的面積，再由F為D'E的中點即可求得四棱錐F-AECD與四棱柱ABCD-A'B'C'D'的體積之比．

解答 （Ⅰ）證明：由題意，AD=AE，$∠DAB=\frac{π}{3}$，
∴△DAE是等邊三角形，在△BEC中，求得$∠BEC=\frac{π}{6}$，
則$∠DEC=\frac{π}{2}$，即CE⊥DE，
∵DD'⊥平面ABCD，∴CE⊥D'D，又DE∩DD′=D，∴CE⊥平面D'DE，
∵DF?平面D'DE，
∴CE⊥DF；
（Ⅱ）解：設(shè)AD=2，
∵△DAE是等邊三角形，∴平行四邊形ABCD的邊AB上的高$h=\sqrt{3}$．
∴${S_{平行四邊形ABCD}}=4\sqrt{3}$，${S_{梯形AECD}}=\frac{（2+4）}{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
∵F為D'E的中點，DD'⊥平面ABCD，
∴四棱錐F-AECD的底面ABCD上的高為$\frac{1}{2}DD'=3$．
∴$\frac{{{V_{F-AECD}}}}{{{V_{ABCD-A'B'C'D'}}}}=\frac{{\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×3}}{{4\sqrt{3}×6}}=\frac{1}{8}$．
即四棱錐F-AECD與四棱柱ABCD-A'B'C'D'的體積之比為1：8．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了棱柱、棱錐及棱臺體積的求法，是中檔題．