設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點到準線的距離是2．
（Ⅰ）求此拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)點A，B在此拋物線上，點F為此拋物線的焦點，且數(shù)學公式，若λ∈[4，9]，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

解：（Ⅰ）因為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點到準線的距離p=2
所以此拋物線方程為y2=4x
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在．F（1，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）
由消y，整理得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，
設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1）則，x1•x2=1
因為，所以（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），于是
由y2=-λy1，得y22=λ2y12?4x2=λ2•4x1?x2=λ2•x1，
又x1•x2=1，
消x2得λ2•x12=1，
因為x1＞0，所以，從而，x2=λ．
代入得，，
令，
因為在[4，9]上遞增，
所以，即，
于是，，或
所以直線AB在y軸上截距的取值范圍為：．
分析：（Ⅰ）根據(jù)焦點到準線的距離求得p，則拋物線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1）根據(jù)韋達定理可表示出x1+x2和x1•x2，根據(jù)，進而求得x2=λ2•x1，進而根據(jù)x1•x2=1，消去x2，求得x1和x2，代入x1+x2中，求得λ和k的關(guān)系式，根據(jù)在[4，9]上遞增，進而求得y的范圍進而求得k的范圍，進而求得直線在x軸上的截距的范圍可得．
點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，直線與拋物線的關(guān)系，向量的計算等．考查了學生運用所學知識靈活解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點，若△BDF為等邊三角形，△ABD的面積為6，則p的值為
3
3
，圓F的方程為
(x-
3
2
)2+y2=12
(x-
3
2
)2+y2=12
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．
（1）若p=2，求線段AF中點M的軌跡方程；
（2）若直線AB的方向向量為
n
=(1，2)，當焦點為F(
1
2
，0)時，求△OAB的面積；
（3）若M是拋物線C準線上的點，求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•長寧區(qū)二模）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1，P2兩點，已知|P1P2|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點M（3，0）作方向向量為
d
=(1，a)的直線與曲線C相交于A，B兩點，求△FAB的面積S（a）并求其值域；
（3）設(shè)m＞0，過點M（m，0）作直線與曲線C相交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m使∠AFB為鈍角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)拋物線C：y2=3px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃浦區(qū)二模）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的動直線l交拋物線C于點A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若
OE
=2(
OA
+
OB
)（O為坐標原點），且點E在拋物線C上，求直線l傾斜角；
（3）若點M是拋物線C的準線上的一點，直線MF，MA，MB的斜率分別為k0，k1，k2．求證：當k0為定值時，k1+k2也為定值．

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