Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（I）求證：BE∥平面PAD；
（II）若AB=1，PA=2，求三棱錐E-DBC的體積．

Answer 1

分析：（I）欲證BE∥平面PAD，而BE?平面EBM，可先證平面EBM∥平面APD，取CD的中點M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD  BM∩EM=M，滿足面面平行的判定；
（II）連接AC、BD、AC與BM交于點O，連接EO，根據(jù)線面垂直的判定定理可知EO⊥平面ABCD，然后根據(jù)三棱錐的體積的體積公式V_E-DBC=

1

3

S_△DBC•EO，求出所求即可．

解答：證明：（I）取CD的中點M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD 
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD
而BE?平面EBM
∴BE∥平面PAD
（II）連接AC、BD、AC與BM交于點O，連接EO，則EO⊥AC，EO=

1

2

AP=1
∴EO⊥平面ABCD
∴V_E-DBC=

1

3

S_△DBC•EO=

1

3

×

1

2

DC•BM•EO=

2

3

∴三棱錐E-DBC的體積為

2

3

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及三棱錐的體積的計算，同時考查了推理論證的能力、計算能力，屬于基礎(chǔ)題．