Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）無極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f'（x）有零點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于-

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號，故△=0．由此可得；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得0＜a＜

1

2

，再設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，從而得出證明．

解答： 解 （Ⅰ）首先，x＞0，f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

，
∵f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號，
∴a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

．
（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0，
解得：0＜a＜

1

2

，
設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，因?yàn)樵趨^(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，而在區(qū)間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的極小值點(diǎn)，
因f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上f（x）是減函數(shù)，如能證明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，則更有f(x2)＜-

3

2

．
由韋達(dá)定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中設(shè)g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
∴g′（t）=

1

t

-

3

2

，
令g′（t）=0，即t=

2

3

，
∴g′（t）＜0，即t＞

2

3

函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，
而g（1）=0，因此g（t）＜0，即f（x）的極小值f（x₂）＜0．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號即可，這種思想經(jīng)常用到．