Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的三個動點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．動點Q在線段AB上，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，則|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范圍為[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB：y=kx+m，由$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，可得OQ⊥AB，即有OQ：y=-$\frac{1}{k}$x，將AB的方程代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和向量垂直的條件，運用代入法，化簡整理，即可得到所求Q的軌跡為圓，再由圓和橢圓的對稱性，可得最值，即為范圍．

解答 解：設(shè)直線AB：y=kx+m，
由$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，可得OQ⊥AB，
即有OQ：y=-$\frac{1}{k}$x，
求得k=-$\frac{x}{y}$，m=y+$\frac{{x}^{2}}{y}$，①
將直線y=kx+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，可得
（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
代入韋達(dá)定理，可得3+3k²=4m²，
再由①，化簡可得x²+y²=$\frac{3}{4}$，
即有Q的軌跡為以O(shè)為圓心，$\frac{\sqrt{3}}{2}$為半徑的圓，
由圓和橢圓的對稱性，可得|PQ|的最大值為r+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
最小值為b-r=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范圍是[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．
故答案為：[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查向量的模的范圍，考查向量垂直的條件和直線和橢圓聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．