Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\frac{x+f（x）}{x{e}^{2x}}$，h（x）=（2x²+x）g′（x），求證：?x∈（0，+∞），h（x）＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能證得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞），
∴f（x）_極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=$\frac{x+f（x）}{x{e}^{2x}}$=$\frac{x+xlnx}{{xe}^{2x}}$=$\frac{1+lnx}{{e}^{2x}}$，
∴g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-2lnx-2}{{e}^{2x}}$，
∴h（x）=（2x²+x）g′（x）
=（2x²+x）g′（x）
=（2x²+x）•$\frac{\frac{1}{x}-2lnx-2}{{e}^{2x}}$
=$\frac{（2x+1）（1-2x-2xlnx）}{{e}^{2x}}$，
令p（x）=1-2x-2xlnx
p′（x）=-2-2lnx-2x×$\frac{1}{x}$=-4-2lnx
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時(shí)，p′（x）＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）時(shí)，p′（x）＜0，函數(shù)遞減．
故x=$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)取到極大值，也是函數(shù)的最大值．
即p（x）max=p（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，且1+$\frac{2}{{e}^{2}}$＜$\frac{4}{3}$，同理可求得 $\frac{2x+1}{{e}^{2x}}$＜1
故h（x）＜$\frac{2x+1}{{e}^{2x}}$×$\frac{4}{3}$＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；解題中要熟悉復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)；對(duì)運(yùn)算的要求比較高．