Question

10．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$（x，y∈R），則x+y的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題設(shè)知${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x²+y²-$\frac{2}{3}$xy=1，設(shè)x+y=t，y=t-x，得8x²-8tx+3t²-3=0，由方程8x²-8tx+3t²-3=0有解，知△≥0，由此能求出x+y的最大值

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$（x，y∈R），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x²+y²-$\frac{2}{3}$xy=1
設(shè)x+y=t，y=t-x，得：x²+（t-x）²-$\frac{2}{3}$x（t-x）-1=0，
∴8x²-8tx+3t²-3=0，
∵方程8x²-8tx+3t²-3=0有解，
∴△=64t²-4×8×3（t²-1）≥0，
即t²≤3，
∴-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，
∴x+y的最大值為$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意平面向量的數(shù)量積和換元法的靈活運用．