20.某民營企業(yè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品.根據(jù)市場調(diào)查與預測,甲產(chǎn)品的利潤 P(x)與投資額x成正比,其關系如圖1;乙產(chǎn)品的利潤Q(x)與投資額x的算術平方根成正比,其關系如圖2(利潤與投資單位:萬元).
(1)試寫出利潤 P(x)和Q(x)的函數(shù)關系式;
(2)該企業(yè)已籌集到3萬元資金,并全部投入甲乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).問怎樣分配這3萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤是多少萬元?

分析 (1)設P(x)=k1x,代入(1,0.2),能求出P(x),設$Q(x)={k_2}\sqrt{x}$,代入(4,1.2),能求出Q(x).
(2)設投入乙產(chǎn)品x萬元,則甲產(chǎn)品投入3-x萬元,fiy bm 利潤總和,利用換元法和配方法能求出怎樣分配這3萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤及其最大利潤是多少萬元.

解答 解:(1)設P(x)=k1x,代入(1,0.2),
解得${k_1}=\frac{1}{5}$,所以$P(x)=\frac{1}{5}x$,…(3分)
設$Q(x)={k_2}\sqrt{x}$,代入(4,1.2),解得${k_2}=\frac{3}{5}$,
所以$Q(x)=\frac{3}{5}\sqrt{x}$.…(6分)
(2)設投入乙產(chǎn)品x萬元,則甲產(chǎn)品投入3-x萬元,
利潤總和為$f(x)=\frac{1}{5}(3-x)+\frac{3}{5}\sqrt{x}$,0≤x≤3,…(9分)(少定義域扣1分)
記$\sqrt{x}=t$,則$0≤t≤\sqrt{3}$,…(11分)
此時$g(t)=\frac{1}{5}(3-{t^2})+\frac{3}{5}t=-\frac{1}{5}{(t-\frac{3}{2})^2}+\frac{21}{20}$,…(13分)
當$t=\frac{3}{2}$,即$x=\frac{9}{4}=2.25$時,g(t)取得最大值$\frac{21}{20}$. …(15分)
答:對甲乙產(chǎn)品分別投入0.75萬元和2.25萬元時,可使獲利總額最大,
最大獲利為1.05萬元. …(16分)

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法,考查企業(yè)最大利潤的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意待定系數(shù)法、換元法的合理運用.

練習冊系列答案
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