Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象；再將得到函數(shù)g（x）的圖象向下平移1個單位，同時將周期擴大1倍，得到函數(shù)h（x）的圖象，分別寫出函數(shù)g（x）與h（x）解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先化簡得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，即可寫出函數(shù)g（x）與h（x）解析式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+1+cos2x=2sin（2x+

π

6

）+1，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵f（x-

π

12

）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin2x+1=g（x），
∴g（x）=2sin2x+1，
將得到函數(shù)g（x）的圖象向下平移1個單位，該函數(shù)的周期為π，若將其周期變?yōu)?π，
∴h（x）=2sinx．

點評：本題主要考察了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．