Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P(-1，-

2

2

)，兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，且

DF1

•

DF2

=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l恒過點(diǎn)(0，-

1

3

)，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．

Answer 1

分析：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，得a=

2

b，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1），由此能夠證明以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．

解答：解：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，
∴a=

2

b，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓過點(diǎn)P（-1，-

2

2

），代入方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1，得b=1，
∴a=

2

，故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
此圓顯然過點(diǎn)T（0，1）．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，
∵

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)，
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0，
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1），
綜上所述，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考要直線和橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、向量垂直等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．