Question

某種電子玩具按下按健后，會(huì)出現(xiàn)紅球和綠球．已知按鍵第一按下后，出現(xiàn)紅球和綠球的概率都是

1

2

，從按鍵第二按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是

1

3

、

2

3

；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是

3

5

、

2

5

．記第n（n∈N*）次按下按鍵后出現(xiàn)紅球的概率為p_n．
（1）求p₂；
（2）n≥2時(shí)，求p_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，p₂即第2次按下按鍵后出現(xiàn)紅球的概率，分析可得，其包括第一次出現(xiàn)紅球與綠球2種情況，由互斥事件概率的加法公式，計(jì)算可得答案；
（2）分析題意，可得n≥2時(shí)，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，類比數(shù)列的性質(zhì)，可以構(gòu)造等比數(shù)列{pn-

9

19

}，求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，p₂即第2次按下按鍵后出現(xiàn)紅球的概率，
其包括第一次出現(xiàn)紅球與綠球2種情況；
則p2=

1

2

×

1

3

+

1

2

×

3

5

=

7

15

．
（2）依題意，n≥2時(shí)，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，
設(shè)常數(shù)λ∈R，使pn-λ=-

4

15

(pn-1-λ)，即pn=

19

15

λ-

4

15

pn-1，解

19

15

λ=

3

5

得λ=

9

19

，
所以{pn-

9

19

}是首項(xiàng)為p1-

9

19

=

1

38

，公比為-

4

15

的等比數(shù)列，
所以pn-

9

19

=

1

38

×(-

4

15

)n-1，
解得pn=

1

38

[18+(-

4

15

)n-1]．

點(diǎn)評(píng)：（2）有一定難度，要求學(xué)生將題中文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，建立遞推關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)“平移”將一次遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比關(guān)系，依據(jù)等比數(shù)列基本性質(zhì)求解．