Question

在直角坐標平面xOy上的一列點A₁（1，a₁），?A₂（2，a₂），?…，?A_n（n，a_n），?…，簡記為{A_n}、若由bn=

AnAn+1

•

j

構成的數列{b_n}滿足b_n+1＞b_n，n=1，2，…，其中

j

為方向與y軸正方向相同的單位向量，則稱{A_n}為T點列，
（1）判斷A1( 1，  1)，?A2( 2，  

1

2

)，?A3( 3，  

1

3

)，?…，?An( n， 

1

n

 )，?…，是否為T點列，并說明理由；
（2）若{A_n}為T點列，且點A₂在點A₁的右上方、任取其中連續(xù)三點A_k、A_k+1、A_k+2，判斷△A_kA_k+1A_k+2的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；
（3）若{A_n}為T點列，正整數1≤m＜n＜p＜q滿足m+q=n+p，求證：

AnAq

•

j

＞

AmAp

•

j

．

Answer 1

分析：（1）根據所給的n個點的坐標，看出數列{a_n}的通項，把數列{a_n}的通項代入新定義的數列{b_n}，驗證數列{b_n}滿足b_n+1＞b_n，
得到{A_n}是T點列的結論．
（2）用所給的三個點構造三個向量，寫出三個向量的坐標，問題轉化為向量夾角的大小問題，判斷出兩個向量的數量積小于零，得到兩個向量所成的角是鈍角，得到結果．
（3）本題是要求判斷兩組向量的數量積的大小，根據兩個數列各自的項之間的大小關系，得到向量的數量積之間的關系，本題不用做具體的數字運算，只是一個推理過程．

解答：解：（1）由題意可知an=

1

n

，
∴bn=

1

n+1

-

1

n

=

-1

n(n+1)

，
顯然有b_n+1＞b_n，
∴{A_n}是T點列
（2）在△A_kA_k+1A_k+2中，

Ak+1Ak

=(-1，ak-ak+1)，

Ak+1Ak+2

=(1，ak+2-ak+1)，

Ak+1Ak

•

Ak+1Ak+2

=-1+(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)
∵點A₂在點A₁的右上方，
∴b₁=a₂-a₁＞0，
∵{A_n}為T點列，
∴b_n≥b₁＞0，
∴（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）=-b_k+1b_k＜0，則

Ak+1Ak

•

Ak+1Ak+2

＜0
∴∠A_kA_k+1A_k+2為鈍角，
∴△A_kA_k+1A_k+2為鈍角三角形、
（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，
∴q-p=n-m＞0
①a_q-a_p=a_q-a_q-1+a_q-1-a_q-2++a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2++b_p≥（q-p）b_p②
同理a_n-a_m=b_n-1+b_n-2++b_m≤（n-m）b_n-1、③
由于{A_n}為T點列，于是b_p＞b_n-1，④
由①、②、③、④可推得a_q-a_p＞a_n-a_m，
∴a_q-a_n＞a_p-a_m，
即

AnAq

•

j

＞

AmAp

•

j

點評：本題表面上是對數列的考查，實際上考查了兩個向量數量積，數量積貫穿始終，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到比較大小的問題，是一個大型的綜合題．可以作為高考卷的壓軸題．