如圖,已知DE⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點(diǎn)。

(I)求證:AF//平面BCE;
(II)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(III)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小。

(I)(II)見(jiàn)試題解析;(III)

解析試題分析:(I)要證明線面垂直,就是要在平面BCE中找一條與AF垂直的直線,這條直線容易看出是平面BAF與平面BCE的交線,當(dāng)然根據(jù)已知條件,輔助線可直接取CE中點(diǎn)P,直線BP就是我們要找的平等線;(II)本證面面垂直,先要證線面垂直,先看題中有沒(méi)有已知的垂直關(guān)系,發(fā)現(xiàn)有直線AF與平面CDE垂直,而在(I)的證明中有BP//AF,BP就是我們要找的線面垂直中的線;(III)平面BCE與平面ACD有一個(gè)公共點(diǎn)C,依據(jù)二面角的定義,要選作出二面角的棱,然后作出平面角,才能求出二面角的大小,但由(I)題中有兩兩垂直的三條直線FA,F(xiàn)P,AD,故我們可建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)空間向量來(lái)求二面角大小.
試題解析:(I)解:取CE中點(diǎn)P,連結(jié)FP、BP,∵F為CD的中點(diǎn),
∴FP//DE,且FP= 又AB//DE,且AB=
∴AB//FP,且AB=FP, ∴ABPF為平行四邊形,∴AF//BP。
又∵AF平面BCE,BP平面BCE, ∴AF//平面BCE。             3分
(II)∵△ACD為正三角形,∴AF⊥CD!逜B⊥平面ACD,DE//AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE。又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。
又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE。                7分
(III)由(II),以F為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)A,F(xiàn)D,F(xiàn)P所在的直線分別為x,y,z軸(如圖),建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz.設(shè)AC=2,則C(0,—1,0),


顯然,為平面ACD的法向量。
設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為

即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°。                13分
考點(diǎn):(I)線面平行;(II)面面垂直;(III)二面角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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