正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E為棱CC1的中點.則:
(1)二面角E-AB-C的平面角的正切值是________;
(2)二面角C-AE-B的平面角的正切值是________;
(3)點D1到平面EAB的距離是________.
解(1)由正方體性質(zhì),AB⊥面EBC,∴AB⊥BC,AB⊥EB,∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角
在直角三角形ECB中,tan∠EBC=
(2)連接BD交AC于O,過點O作OF⊥AE交AE于F,連接OF
∵BO⊥平面ACE,∴AE⊥AE,∴AE⊥面OFB,AE⊥BF,∴∠OFB是二面角C-AE-B的平面角.
在直角三角形ACE中,AC=2
,AO=
,AE=3,∵OF:CE=AO:AE,∴OF=
,
在直角三角形FOB中,tan∠OFB=
=3.
(3)D
1C
1∥平面ABE,∴點C
1到平面EAB的距離等于點D
1到平面EAB的距離 h.
∴V
A-BCE1=V
C1-ABE 即
S△BEC
1×AB=
△ABE×h,
又S△BEC
1=
=1.S△ABE=
×AB×BE=
=
.
∴
,h=
.
分析:(1)由正方體性質(zhì),AB⊥面EBC,∴AB⊥BC,AB⊥EB,∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角
(2)連接BD交AC于O,過點O作OF⊥AE交AE于F,連接OF,可得∠OFB是二面角C-AE-B的平面角.根據(jù)相似三角形性質(zhì)求出OF后,解三角形BOF即可.
(3)由于D
1C
1∥平面ABE,即D
1到平面ABE的距離等于C
1到平面ABE的距離,利用等體積法求出C
1到平面ABE的距離即可.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,點到平面的距離,(1)的關(guān)鍵是利用定義直接找出所求的二面角的平面角,(2)的關(guān)鍵是通過作垂線,確定∠OFB是二面角B-AE-C的平面角,(3)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成C
1到平面ABE的距離.考查空間想象、轉(zhuǎn)化、計算能力.