Question

已知函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

滿足對(duì)任意x₁≠x₂都有

f (x 1)-f(x 2)

x1-x2

＜0 成立，則a的取值范圍是

1

7

＜a＜

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中條件，可以先判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，再結(jié)合分段函數(shù)的解析式，要每一段都是減函數(shù)，且分界點(diǎn)時(shí)左段函數(shù)的函數(shù)值要大于等于右段函數(shù)的函數(shù)值，列出不等關(guān)系，求解即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵對(duì)任意x₁≠x₂都有

f (x 1)-f(x 2)

x1-x2

＜0 成立，
∴x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)，
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可知f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∵函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

，
∴

3a-1＜0 0＜a＜1 (3a-1)×1+4a≥loga1

，解得

1

7

＜a＜

1

3

，
∴a的取值范圍是

1

7

＜a＜

1

3

．
故答案為：

1

7

＜a＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論．對(duì)于分段函數(shù)的問(wèn)題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．屬于中檔題．