分析:原函數(shù)化為::
f(x)=(1)求f(x)的定義域可令分母4
x+1≠0求解,對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變化,判斷出值域即可值域;
(2)討論f(x)的奇偶性并證明,本函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),由定義法證明即可;
(3)判斷f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性并證明,由解析式可以看出本函數(shù)在(-∞,+∞)是一個(gè)減函數(shù),可由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可.
解答:解:原函數(shù)化為:
f(x)=.
(1)令分母4
x+1≠0,該不等式恒成立,故定義域?yàn)镽
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?span id="wuqyi4u" class="MathJye">f(x)=1-
,由于4
x+1>1,故0<
<1
故0<
<2,
∴f(x)的值域是(-1,1)
(2)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),證明如下
f(-x)=== -=-f(x),故是一個(gè)奇函數(shù).
(3)f(x)在(-∞,+∞)是一個(gè)增函數(shù),證明如下
由于
f(x)=1-,在(-∞,+∞)上,2
x+1遞增且函數(shù)值大于0,
在(-∞,+∞)上是減函數(shù),
故
f(x)=1-在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)性的、奇偶性的判斷與證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法,求解此類題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸,熟知其各種判斷證明方法.